Najpiękniejszy wzór matematyki
Tożsamość Eulera e^(iπ) + 1 = 0 łączy pięć najważniejszych stałych: 0, 1, π, e oraz jednostkę urojoną i. W ankietach wśród matematyków regularnie wygrywa jako „najpiękniejszy wzór”.
Ciekawostki › szkoła średnia
119 ciekawostek o liczbach, figurach i historii matematyki – dobranych do wieku ucznia. W aplikacji Qmaty możesz odkrywać je po jednej i zbierać kolejne.
Tożsamość Eulera e^(iπ) + 1 = 0 łączy pięć najważniejszych stałych: 0, 1, π, e oraz jednostkę urojoną i. W ankietach wśród matematyków regularnie wygrywa jako „najpiękniejszy wzór”.
Gdy 1 zł oprocentujesz na 100% rocznie, ale odsetki dopisujesz coraz częściej – co miesiąc, co dzień, co sekundę – kwota po roku nie rośnie bez końca. Zbliża się do e ≈ 2,71828. Tak tę liczbę odkrył Jakob Bernoulli.
Liczba π jest niewymierna – jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza. Komputery wyznaczyły już ponad 100 bilionów jej cyfr, choć do obliczeń w kosmosie NASA wystarcza kilkanaście.
Starożytni Grecy udowodnili, że √2 nie da się zapisać jako ułamka. Według legendy pitagorejczyk Hippazos, który to ujawnił, zginął w morzu – bo podważył przekonanie, że wszystko jest stosunkiem liczb całkowitych.
Euklides udowodnił to ok. 300 r. p.n.e.: pomnóż wszystkie znane liczby pierwsze i dodaj 1. Wynik nie dzieli się przez żadną z nich, więc musi istnieć liczba pierwsza spoza listy.
Rekordowe liczby pierwsze mają postać 2^p − 1 (liczby Mersenne’a). Największa znana ma ponad 41 milionów cyfr – zapisana zwykłym drukiem zajęłaby tysiące stron.
Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych (np. 28 = 5 + 23)? Komputery sprawdziły to dla liczb do 4·10^18, ale dowodu brak od 1742 roku.
W 1637 r. Fermat zanotował na marginesie, że równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dla n > 2, a „cudowny dowód nie mieści się na marginesie”. Udowodnił to dopiero Andrew Wiles w 1994 r. – po 357 latach.
W 2000 r. Instytut Claya ogłosił 7 problemów milenijnych z nagrodą po milion dolarów. Rozwiązano tylko jeden – hipotezę Poincarégo.
Grigorij Perelman udowodnił hipotezę Poincarégo i odmówił przyjęcia zarówno Medalu Fieldsa, jak i nagrody miliona dolarów. Stwierdził, że wkład Richarda Hamiltona, na którego pracach się oparł, był nie mniejszy niż jego.
Marian Rejewski, Jerzy Różycki i Henryk Zygalski w latach 30. XX wieku złamali niemiecką Enigmę, korzystając z teorii permutacji. Ich prace przekazane Brytyjczykom pomogły w odczytywaniu niemieckich szyfrów w czasie wojny.
Lwowscy matematycy – Stefan Banach, Hugo Steinhaus, Stanisław Ulam i inni – spotykali się w Kawiarni Szkockiej i zapisywali problemy w zeszycie. Za rozwiązanie jednego z nich nagrodą była żywa gęś – wręczona w 1972 roku!
Banach nie ukończył studiów, a został jednym z twórców analizy funkcjonalnej. Steinhaus mówił, że jego największym odkryciem był właśnie Banach – usłyszany przypadkiem na ławce w krakowskim parku.
Kulę da się podzielić na skończenie wiele kawałków i złożyć z nich dwie kule tej samej wielkości co pierwotna. To twierdzenie Banacha i Tarskiego – działa tylko dla „dziwnych” zbiorów, których nie da się wyciąć w rzeczywistości.
Stanisław Ulam współtworzył metodę Monte Carlo – rozwiązywanie problemów przez losowanie. Wymyślił ją, rozkładając pasjansa podczas choroby. Dziś używa się jej w fizyce, finansach i grafice komputerowej.
Usuwaj z trójkąta środkowy trójkąt, potem z każdego pozostałego znowu środkowy… Powstaje fraktal Wacława Sierpińskiego. Jego pole dąży do zera, choć wciąż ma nieskończenie wiele punktów.
Georg Cantor pokazał, że liczb rzeczywistych jest „więcej” niż naturalnych, choć obu jest nieskończenie wiele. Liczby wymierne da się ponumerować, a rzeczywistych – nie.
Hotel ma nieskończenie wiele pokoi i wszystkie są zajęte. Przyjeżdża nowy gość? Każdy przechodzi z pokoju n do n + 1 i pokój 1 jest wolny. Nieskończoność zachowuje się inaczej niż duże liczby.
Kurt Gödel udowodnił w 1931 r., że w każdym rozsądnym systemie aksjomatów arytmetyki istnieją zdania prawdziwe, których nie da się w nim udowodnić. To jedno z najważniejszych odkryć logiki.
W grupie zaledwie 23 osób prawdopodobieństwo, że dwie mają urodziny tego samego dnia, przekracza 50%. Przy 70 osobach to już ponad 99,9%.
Za jednymi z trzech drzwi jest samochód. Wybierasz drzwi, prowadzący otwiera inne, puste. Warto zmienić wybór: szansa wygranej rośnie z 1/3 do 2/3. Nawet wybitni matematycy początkowo w to nie wierzyli.
W wielu prawdziwych zbiorach danych – rachunkach, populacjach miast, cenach – liczby zaczynają się od cyfry 1 w ok. 30% przypadków, a od 9 tylko w ok. 5%. Biegli księgowi wykorzystują to do wykrywania sfałszowanych danych.
Liczba φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 to granica stosunku kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego. Wiele „złotych proporcji” w sztuce to jednak mit – Partenonu nie projektowano według φ.
Liczby spiral nasion w koszyczku słonecznika to zwykle kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego, np. 34 i 55. Takie ułożenie pozwala ciasno upakować nasiona.
Newton i Leibniz opracowali go niezależnie pod koniec XVII wieku i przez lata spierali się o pierwszeństwo. Używamy dziś głównie oznaczeń Leibniza, np. dy/dx i ∫.
John Napier opublikował logarytmy w 1614 r. Zamieniały mnożenie na dodawanie, więc astronomowie liczyli dzięki nim szybciej. Laplace mówił, że logarytmy „podwoiły życie astronomów”.
Zanim pojawiły się kalkulatory, inżynierowie mnożyli suwakiem logarytmicznym. Obliczenia do lotów na Księżyc w programie Apollo też sprawdzano na suwakach.
Według anegdoty nauczyciel kazał uczniom dodać liczby od 1 do 100. Gauss od razu podał 5050: sparował 1 + 100, 2 + 99… – 50 par po 101. To wzór na sumę ciągu arytmetycznego.
√(−1) wydawał się absurdem, ale liczby zespolone okazały się niezbędne w elektrotechnice, mechanice kwantowej i przetwarzaniu dźwięku. Bez nich nie byłoby współczesnej elektroniki.
Bankowość internetowa opiera się na tym, że łatwo pomnożyć dwie ogromne liczby pierwsze, a bardzo trudno rozłożyć wynik z powrotem na czynniki. To trzon algorytmu RSA z 1977 roku.
Każdą mapę da się pokolorować czterema kolorami tak, by sąsiednie kraje miały różne kolory. Dowód z 1976 r. był pierwszym ważnym twierdzeniem udowodnionym z pomocą komputera.
Euler udowodnił w 1736 r., że nie da się przejść przez wszystkie 7 mostów Królewca, przechodząc każdy dokładnie raz. Tak narodziła się teoria grafów – dziś podstawa nawigacji i sieci społecznościowych.
Nawigacja szuka najkrótszej trasy w grafie dróg algorytmem Dijkstry (1956) i jego ulepszeniami. Edsger Dijkstra wymyślił go w kawiarni w około 20 minut – bez kartki.
Zegary na satelitach GPS chodzą inaczej niż na Ziemi – z powodu prędkości i słabszej grawitacji. Bez poprawek z teorii względności błąd położenia rósłby o około 10 km dziennie.
Zbiór Mandelbrota powstaje z prostego wzoru z = z² + c, a jego brzeg kryje nieskończenie złożone wzory. Benoît Mandelbrot pokazał, że fraktale opisują chmury, wybrzeża i naczynia krwionośne.
Długość linii brzegowej zależy od dokładności pomiaru: im krótszą miarką mierzysz, tym dłuższy wychodzi brzeg. To tzw. paradoks wybrzeża, wyjaśniony przez fraktale.
Sklej pasek papieru z jednym skręceniem – powstanie powierzchnia, która ma tylko jedną stronę i jeden brzeg. Przetnij ją wzdłuż środka, a zamiast dwóch pasków dostaniesz jeden, dłuższy.
Dla topologa kubek z uchem i obwarzanek to ta sama figura: jedno da się plastycznie przekształcić w drugie bez rozrywania. Obie mają dokładnie jedną „dziurę”.
René Descartes połączył algebrę z geometrią: punkt to para liczb (x, y), a prosta to równanie. Według legendy pomysł przyszedł mu, gdy obserwował muchę na suficie.
Babilońska tabliczka Plimpton 322 sprzed ok. 3800 lat zawiera trójki liczb spełniające a² + b² = c². Pitagoras nie był więc pierwszy, ale jego szkoła mogła przeprowadzić dowód.
Znanych jest kilkaset różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa. Jeden z nich opublikował James Garfield, późniejszy prezydent USA.
Ok. 240 r. p.n.e. Eratostenes porównał cień w Aleksandrii z brakiem cienia w Asuanie w południe przesilenia. Z kąta ok. 7° i odległości między miastami obliczył obwód Ziemi z zaskakującą dokładnością.
Zero jako pełnoprawną liczbę z regułami działań opisał indyjski matematyk Brahmagupta w 628 r. Europa przyjmowała je powoli – we Florencji w 1299 r. zakazano nawet używania cyfr arabskich w księgach kupieckich.
Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim, w „Liber Abaci” z 1202 r. przekonywał europejskich kupców do cyfr indyjsko-arabskich. Słynne króliki, od których wziął się jego ciąg, były tylko jednym z przykładów w tej książce.
W 1843 r. Ada Lovelace opisała algorytm do obliczania liczb Bernoulliego na projektowanej maszynie analitycznej Babbage’a. Uważa się ją za autorkę pierwszego programu komputerowego.
W 1936 r. Turing opisał teoretyczną „maszynę”, która wykonuje proste instrukcje. Udowodnił, że istnieją problemy, których żaden komputer nie rozwiąże – np. nie da się zawsze przewidzieć, czy program się zatrzyma.
Emmy Noether udowodniła, że każdej symetrii w fizyce odpowiada wielkość zachowana – np. z symetrii w czasie wynika zasada zachowania energii. Einstein nazwał ją jednym z najwybitniejszych matematycznych umysłów.
W 2014 r. Irańska matematyczka Maryam Mirzakhani jako pierwsza kobieta otrzymała Medal Fieldsa – najważniejszą nagrodę dla matematyków poniżej 40. roku życia – za badania nad geometrią powierzchni.
Alfred Nobel nie ustanowił nagrody z matematyki. Jej odpowiednikami są Medal Fieldsa (co 4 lata) i Nagroda Abela przyznawana od 2003 r.
Gdy Hardy przyjechał do szpitala taksówką o numerze 1729 i nazwał go nudnym, Ramanujan odparł, że to najmniejsza liczba, którą można zapisać jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby: 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
Prędkościomierz pokazuje pochodną położenia po czasie, a przyspieszenie to pochodna prędkości. Każdy kierowca, nawet o tym nie wiedząc, odczytuje rachunek różniczkowy.
Całka oznaczona to pole pod wykresem funkcji. Archimedes już ok. 250 r. p.n.e. liczył pola, dzieląc figury na coraz cieńsze paski – to idea całkowania sprzed ponad 2000 lat.
Archimedes oszacował π, wpisując w okrąg i opisując na nim 96-kąty foremne. Wyszło mu, że π leży między 3 10/71 a 3 1/7 – dokładnie do dwóch miejsc po przecinku.
14 marca (3.14) obchodzi się Dzień Liczby Pi. Tego dnia urodził się Albert Einstein, a zmarł Stephen Hawking.
Za pomocą cyrkla i linijki nie da się skonstruować kwadratu o polu równym polu danego koła. Udowodnił to Lindemann w 1882 r., pokazując, że π jest liczbą przestępną.
Kwadratura koła, podwojenie sześcianu i trysekcja kąta – Grecy próbowali je rozwiązać cyrklem i linijką. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że wszystkie trzy są niewykonalne.
Cyrklem i linijką zbudujesz trójkąt, kwadrat, pięciokąt i 17-kąt foremny, ale nie siedmiokąt. Konstrukcję 17-kąta odkrył 19-letni Gauss i poprosił, by wyryto go na jego nagrobku.
Tor rzuconej piłki (bez oporu powietrza) to parabola – wykres funkcji kwadratowej. Galileusz opisał to w XVII wieku.
Talerz anteny ma kształt paraboloidy, bo wszystkie równoległe promienie odbijają się od niej do jednego punktu – ogniska. Tam umieszcza się odbiornik.
Kepler odkrył, że planety krążą wokół Słońca po elipsach, a Słońce jest w jednym z ognisk. Elipsa, parabola i hiperbola to przekroje stożka, badane już przez Apoloniusza z Pergi.
W sali o kształcie elipsy szept wypowiedziany w jednym ognisku słychać wyraźnie w drugim. Tak działają niektóre „galerie szeptów” w zabytkowych budowlach.
W XIX wieku wysokość Mount Everestu obliczono z pomiarów kątów z odległości ponad 100 km, z pomocą trygonometrii. Wynik różnił się od dzisiejszego tylko o kilkadziesiąt metrów.
Każdy dźwięk da się rozłożyć na sumę sinusoid o różnych częstotliwościach – to analiza Fouriera. Dzięki niej działają format MP3, JPEG i rozpoznawanie mowy.
Jeśli bakterie dzielą się co 20 minut, to z jednej po dobie mogłoby powstać 2⁷² komórek – więcej niż 4·10²¹. W praktyce zabrakłoby im pożywienia znacznie wcześniej.
Według legendy wynalazca szachów poprosił o 1 ziarno na pierwszym polu, 2 na drugim, 4 na trzecim… Na 64 polach to 2⁶⁴ − 1 ziaren – około tysiąca razy więcej niż dzisiejsze roczne zbiory pszenicy na całym świecie.
Grubość kartki rośnie dwukrotnie przy każdym złożeniu. Po 42 złożeniach kartka o grubości 0,1 mm sięgnęłaby Księżyca. W praktyce zwykłej kartki nie da się złożyć na pół więcej niż 7–8 razy.
Skala decybeli jest logarytmiczna: wzrost o 10 dB to dziesięć razy więcej energii dźwięku. Rozmowa ma ok. 60 dB, a koncert rockowy ok. 110 dB – to sto tysięcy razy więcej.
Skala magnitudy trzęsień ziemi też jest logarytmiczna: wzrost o 1 oznacza około 32 razy więcej uwolnionej energii.
pH to ujemny logarytm stężenia jonów wodorowych. Sok z cytryny o pH 2 jest około 100 000 razy bardziej kwaśny niż czysta woda o pH 7.
Podczas II wojny światowej Abraham Wald zauważył, że samoloty wracają z dziurami w skrzydłach, a nie w silnikach. Wniosek: opancerzyć silniki – samoloty trafione w silnik po prostu nie wracały. To słynny przykład błędu przeżywalności.
Gdy do sali wejdzie miliarder, średni dochód obecnych gwałtownie wzrośnie, choć nikt poza nim nie stał się bogatszy. Dlatego w statystyce zarobków częściej podaje się medianę.
Florence Nightingale znana jest jako pielęgniarka, ale była też pionierką statystyki. Jej wykresy biegunowe przekonały brytyjski rząd, że żołnierze częściej umierają z powodu chorób niż ran.
Wzrost ludzi, błędy pomiarów czy wyniki wielu testów układają się w kształt dzwonu – rozkład normalny. Około 68% wyników mieści się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.
Szansa trafienia „szóstki” w Lotto (6 z 49) to 1 do 13 983 816. To mniej więcej tak, jakby trafić losowo jedną wybraną sekundę w ciągu ponad 160 dni.
Po pięciu orłach z rzędu szansa na reszkę w kolejnym rzucie nadal wynosi 1/2. Przekonanie, że „teraz musi wypaść reszka”, nazywa się błędem hazardzisty.
Kostka Rubika ma ponad 43 tryliony ustawień (ok. 4,3·10¹⁹). W 2010 r. udowodniono, że każde da się ułożyć w co najwyżej 20 ruchach – to tzw. „liczba Boga”.
Dobrze przetasowana talia 52 kart ma 52! ≈ 8·10⁶⁷ możliwych ułożeń. Prawie na pewno żadne ułożenie, które trzymasz w ręku, nigdy wcześniej nie wystąpiło w historii.
10! = 3 628 800, a 20! to już ponad 2 tryliony. Silnia rośnie szybciej niż każda funkcja wykładnicza aⁿ – dlatego przeszukiwanie wszystkich możliwości szybko przerasta komputery.
Jak odwiedzić n miast najkrótszą trasą i wrócić? Dla 20 miast tras jest ok. 6·10¹⁶. Dokładne rozwiązanie dla dużych n wymaga ogromnych obliczeń – firmy kurierskie stosują metody przybliżone.
Czy każdy problem, którego rozwiązanie łatwo sprawdzić, da się też łatwo rozwiązać? To jeden z problemów milenijnych. Od odpowiedzi zależy m.in. bezpieczeństwo współczesnej kryptografii.
Kredyt ze stałą ratą opiera się na sumie ciągu geometrycznego. Wzór na ratę, który liczy bank, uczniowie mogą wyprowadzić na lekcji o ciągach.
Ułamek 0,999… z nieskończenie wieloma dziewiątkami jest dokładnie równy 1. Na przykład: 1/3 = 0,333…, a 3 · 1/3 = 0,999… = 1.
Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bo zanim dobiegnie do miejsca, gdzie żółw był, ten się przesunie? Zenon nie znał sum nieskończonych szeregów – suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 rozwiązuje paradoks.
Suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … rośnie nieograniczenie, choć bardzo powoli: by przekroczyć 100, trzeba dodać więcej niż 10⁴³ wyrazów.
Euler w 1734 r. obliczył, że 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6. Pojawienie się π w sumie odwrotności kwadratów zaskoczyło ówczesnych matematyków.
Na kuli suma kątów trójkąta jest większa niż 180°. Łobaczewski, Bolyai i Gauss pokazali, że istnieją spójne geometrie, w których nie obowiązuje piąty postulat Euklidesa – co przydało się Einsteinowi.
Idź z bieguna północnego na południe do równika, skręć w lewo o 90°, przejdź ćwierć równika i wróć na biegun. Narysowałeś na kuli trójkąt z trzema kątami prostymi.
Samolot z Warszawy do Nowego Jorku leci łukiem nad północnym Atlantykiem, a nie prosto po mapie. Na kuli najkrótsza droga to łuk koła wielkiego – na płaskiej mapie wygląda na krzywą.
Na mapie w odwzorowaniu Merkatora Grenlandia wygląda na podobną do Afryki, choć Afryka jest około 14 razy większa. Żadna płaska mapa nie oddaje kuli bez zniekształceń.
W grach komputerowych położenie, prędkość i kierunek postaci to wektory, a obroty – macierze. Karty graficzne wykonują miliardy takich obliczeń na sekundę.
Pierwszy algorytm PageRank Google’a oceniał ważność stron, licząc wektor własny gigantycznej macierzy połączeń między stronami. Matematyka algebry liniowej stoi za wyszukiwarką.
Sieci neuronowe uczą się, minimalizując błąd metodą spadku gradientu – czyli korzystając z pochodnych. Za „inteligencją” kryją się macierze, rachunek prawdopodobieństwa i analiza.
Kod QR da się odczytać nawet wtedy, gdy część jest zniszczona – nawet do 30% przy najwyższym poziomie korekcji. Pozwalają na to kody Reeda–Solomona oparte na wielomianach.
Ostatnia cyfra kodu EAN-13 jest kontrolna – wynika z ważonej sumy pozostałych. Dzięki temu skaner od razu wykrywa większość pomyłek przy odczycie.
Ostatnia cyfra numeru PESEL jest obliczana z poprzednich dziesięciu z wagami 1, 3, 7, 9. Tak samo cyfry kontrolne mają numery kont bankowych (IBAN) i NIP.
Format JPEG zmniejsza zdjęcia nawet kilkadziesiąt razy, zamieniając fragmenty obrazu na sumy funkcji cosinus i odrzucając mało widoczne szczegóły. To trygonometria w każdym telefonie.
Komputer nie losuje naprawdę – generuje liczby pseudolosowe według wzoru. Do szyfrowania używa się dodatkowo „szumu” z otoczenia, np. ruchów myszki czy zjawisk fizycznych.
Cztery równania różniczkowe Maxwella z XIX wieku opisują elektryczność i magnetyzm. Z nich wynikło istnienie fal elektromagnetycznych – a więc radia, Wi-Fi i telefonów komórkowych.
W fizyce kwantowej nie da się dokładnie przewidzieć, gdzie będzie elektron – można podać tylko prawdopodobieństwo. Opisuje to funkcja falowa, czyli liczba zespolona.
John Nash pokazał, że w każdej skończonej grze istnieje (w strategiach mieszanych) stan równowagi, w którym nikt nie zyska, zmieniając sam swoją strategię. Za te prace dostał Nagrodę Nobla z ekonomii w 1994 r.
Dwóm zatrzymanym bardziej opłaca się zdradzić niż milczeć, choć gdyby obaj milczeli, wyszliby lepiej. Teoria gier tłumaczy w ten sposób wyścigi zbrojeń i wojny cenowe.
Twoja kolejka do kasy wydaje się zawsze wolniejsza? Jeśli kolejek jest trzy, to tylko w 1/3 przypadków twoja jest najszybsza. Rachunek prawdopodobieństwa wyjaśnia to wrażenie.
Pitagorejczycy odkryli, że przyjemne współbrzmienia odpowiadają prostym stosunkom długości strun: oktawa to 2 : 1, kwinta 3 : 2. Współczesne strojenie fortepianu korzysta z pierwiastka dwunastego stopnia z 2.
Holenderski grafik M.C. Escher tworzył parkietaże i obrazy inspirowane geometrią hiperboliczną. Jego „Granice koła” pokazują nieskończenie wiele ryb mieszczących się w kole.
Płaszczyznę da się wyłożyć bez przerw pięciokątami nieforemnymi. Znane jest 15 rodzajów takich pięciokątów – ostatni znaleziono w 2015 r., a w 2017 r. udowodniono, że innych nie ma.
W 2023 r. odkryto „kapelusz” – jeden kształt, którym można wyłożyć całą płaszczyznę, ale tylko tak, że wzór nigdy się nie powtarza. Odkrył go matematyk-amator David Smith.
Gdy połączysz drogami trzy miasta tak, by suma dróg była najmniejsza, drogi spotkają się pod kątami 120°. Bańki mydlane same znajdują takie rozwiązania.
Z wszystkich wielokątów foremnych wypełniających płaszczyznę sześciokąt ma najmniejszy obwód przy danym polu. Że to najlepszy możliwy podział, udowodnił dopiero w 1999 r. Thomas Hales.
Kepler przypuszczał w 1611 r., że kule najciaśniej układa się tak jak pomarańcze na straganie (ok. 74% przestrzeni). Pełny dowód, sprawdzony komputerowo, ukończono dopiero w 2014 r.
Liczba doskonała to suma swoich dzielników mniejszych od niej: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Znamy tylko kilkadziesiąt takich liczb i nie wiadomo, czy istnieje choć jedna nieparzysta.
Pary liczb pierwszych różniących się o 2 – jak 11 i 13 czy 41 i 43 – to liczby bliźniacze. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale w 2013 r. Yitang Zhang udowodnił, że nieskończenie wiele par liczb pierwszych dzieli odstęp mniejszy niż 70 milionów.
Rozkład liczb pierwszych wiąże się z miejscami zerowymi funkcji dzeta Riemanna. Hipoteza z 1859 r. o ich położeniu to najsłynniejszy otwarty problem matematyki – również z nagrodą miliona dolarów.
Weź liczbę: jeśli parzysta – podziel przez 2, jeśli nieparzysta – pomnóż przez 3 i dodaj 1. Czy zawsze dojdziesz do 1? Sprawdzono to dla ogromnych liczb, ale dowodu nie ma. Paul Erdős mówił, że matematyka nie jest gotowa na takie problemy.
Erdős napisał ponad 1500 prac z ponad 500 współautorami. Matematycy liczą swoją „liczbę Erdősa”: 1 – jeśli pisali z nim, 2 – jeśli z jego współautorem, i tak dalej.
Od 2010 r. matematyka znów jest obowiązkowym przedmiotem na maturze w Polsce. Wcześniej, przez ponad 25 lat, można było jej nie zdawać.
Olimpiada Matematyczna w Polsce odbywa się nieprzerwanie od 1949 r. Najlepsi uczestnicy reprezentują kraj na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej, na której Polacy wielokrotnie zdobywali złote medale.
Googol to 10¹⁰⁰ – jedynka i sto zer. To więcej niż liczba atomów w obserwowalnym Wszechświecie (ok. 10⁸⁰). Nazwa firmy Google pochodzi właśnie od tej liczby.
Jeszcze w XVI–XVII wieku wielu europejskich matematyków uważało liczby ujemne za „fałszywe” lub „absurdalne”. Tymczasem w Chinach używano ich ponad 2000 lat temu – kupcy zaznaczali długi czerwonymi i czarnymi pałeczkami.
Znak „=” wprowadził Walijczyk Robert Recorde w 1557 r., bo – jak pisał – „nie ma dwóch rzeczy bardziej równych niż dwie równoległe kreski”. Wcześniej pisano słowami „jest równe”.