GPS potrzebuje Einsteina
Zegary w satelitach GPS chodzą inaczej niż na Ziemi – przez prędkość satelity i słabszą grawitację. Bez poprawek z teorii względności błąd położenia rósłby o około 10 km dziennie!
Ciekawostki › klasa 8
101 ciekawostek o liczbach, figurach i historii matematyki – dobranych do wieku ucznia 8. klasy. W aplikacji Qmaty możesz odkrywać je po jednej i zbierać kolejne.
Zegary w satelitach GPS chodzą inaczej niż na Ziemi – przez prędkość satelity i słabszą grawitację. Bez poprawek z teorii względności błąd położenia rósłby o około 10 km dziennie!
Telefon mierzy czas, w jakim docierają sygnały z co najmniej 4 satelitów. Z tych czasów i prędkości światła oblicza odległości, a potem – rozwiązując układ równań – Twoje położenie.
Funkcja to „maszyna”: wrzucasz liczbę x, a ona zwraca dokładnie jedną liczbę y. Taksówka to funkcja: każdemu przejechanemu kilometrowi odpowiada konkretna cena.
Wykres funkcji y = ax + b to prosta. Liczba a mówi, jak stromo się wznosi, a b – gdzie przecina oś y. Abonament telefoniczny z opłatą stałą i za minutę to właśnie funkcja liniowa!
Wykresy funkcji zawdzięczamy Kartezjuszowi i Fermatowi, którzy w XVII wieku połączyli algebrę z geometrią. To była rewolucja – równania stały się obrazkami!
Szkot William Playfair pod koniec XVIII wieku wymyślił wykres słupkowy, liniowy i kołowy. Wcześniej dane podawano wyłącznie w tabelach.
Strumień wody z fontanny i lecąca piłka zakreślają parabolę. To wykres funkcji kwadratowej – poznasz ją w liceum.
Antena satelitarna ma kształt paraboloidy. Wszystkie sygnały odbite od niej zbiegają się w jednym punkcie – tam umieszcza się odbiornik.
Wiszący swobodnie łańcuch tworzy krzywą zwaną krzywą łańcuchową – przypomina parabolę, ale nią nie jest. Odwrócona tworzy bardzo wytrzymały łuk, z którego korzystał np. Antoni Gaudí.
Stożek o tej samej podstawie i wysokości co walec ma dokładnie 3 razy mniejszą objętość. Napełnij stożek wodą i przelej do walca – zmieści się trzy razy!
Archimedes odkrył, że kula wpisana w walec ma 2/3 jego objętości. Uznał to za swoje największe osiągnięcie i chciał mieć ten rysunek na nagrobku.
Ostrosłup ma objętość równą 1/3 graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Egipcjanie znali wzór na objętość ściętej piramidy już 4000 lat temu – zapisany w papirusie moskiewskim.
Puszka zużywa najmniej blachy przy danej objętości, gdy jej wysokość równa się średnicy. Wiele puszek jest jednak wyższych – bo łatwiej je trzymać w dłoni.
Powierzchnia kuli to 4πr² – dokładnie 4 pola koła o tym samym promieniu. Skórka pomarańczy rozłożona na płasko zakryje mniej więcej 4 jej „przekroje”.
Ze wszystkich brył o tej samej objętości kula ma najmniejszą powierzchnię. Dlatego koty śpią zwinięte w kulkę – tracą mniej ciepła!
Gdy zwierzę rośnie 2 razy, jego powierzchnia rośnie 4 razy, a objętość – 8 razy. Dlatego duże zwierzęta wolniej się wychładzają, a małe muszą dużo jeść.
Model statku w skali 1 : 100 ma objętość milion razy mniejszą niż oryginał! Bo objętość zmienia się z sześcianem skali: 100³ = 1 000 000.
Geodeci i architekci mierzą niedostępne odległości, np. szerokość rzeki, korzystając z twierdzenia Talesa o proporcjonalnych odcinkach.
Żeby udowodnić, że coś jest prawdą, czasem zakłada się, że nie jest – i dochodzi do sprzeczności. Tak Euklides udowodnił nieskończoność liczb pierwszych.
Jeśli pierwsze domino się przewróci, a każde przewracające się domino przewraca następne – przewrócą się wszystkie. Na tej zasadzie dowodzi się twierdzeń dla wszystkich liczb naturalnych.
Niektóre twierdzenia da się udowodnić samym rysunkiem! Na przykład to, że 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n², widać z kwadratu ułożonego z „literek L”.
Drużyny sportowe zatrudniają statystyków. W koszykówce analiza danych pokazała, że rzuty za 3 punkty opłacają się bardziej, niż sądzono – i zmieniła sposób gry w NBA.
Drużyna baseballowa Oakland Athletics z małym budżetem zaczęła wybierać zawodników na podstawie statystyk i osiągała wyniki jak najbogatsze kluby. Powstał o tym film „Moneyball”.
Gra: płacisz 10 zł, rzucasz kostką i wygrywasz tyle złotych, ile wynosi trzykrotność wyrzuconej liczby oczek. Średnia wygrana to 3 · 3,5 = 10,50 zł. Gra się opłaca – ale tylko na dłuższą metę!
W ruletce jest 37 pól, a wypłaty liczy się tak, jakby było ich 36. Ta drobna różnica sprawia, że w długim okresie kasyno zawsze zarabia.
Masz monetę, która częściej wypada orłem? Rzuć dwa razy: OR uznaj za „orła”, RO za „reszkę”, a OO i RR powtórz. Ten pomysł Johna von Neumanna daje uczciwe losowanie!
Matematyka bada też strategie w grach i w ekonomii. John Nash za swoje odkrycia w teorii gier dostał Nagrodę Nobla z ekonomii. O jego życiu opowiada film „Piękny umysł”.
Dwóch zatrzymanych może współpracować albo się zdradzić. Każdemu z osobna opłaca się zdradzić, ale razem wychodzą lepiej, współpracując. To słynny problem teorii gier.
Meteorolog Edward Lorenz odkrył, że drobna zmiana danych – zaokrąglenie 0,506127 do 0,506 – całkowicie zmieniła prognozę. Tak narodziła się teoria chaosu.
Ze względu na chaos w atmosferze dokładne prognozy pogody da się robić tylko na kilka–kilkanaście dni do przodu – nawet najlepszymi komputerami.
Joseph Fourier pokazał, że każdy dźwięk to suma prostych fal. Dzięki temu działają pliki MP3, Shazam i korektory dźwięku.
Format JPG zmniejsza rozmiar zdjęć, przekształcając je matematycznie i odrzucając drobne szczegóły, których oko prawie nie zauważa.
Sieci neuronowe, na których działa sztuczna inteligencja, to w gruncie rzeczy ogromne ilości mnożeń i dodawań liczb – miliardy na sekundę.
Pierwszy algorytm Google, PageRank, oceniał ważność stron internetowych, licząc, jak linkują do siebie nawzajem. Matematycznie to obliczenia na ogromnej macierzy.
Płyta CD odtwarza muzykę mimo rys, bo zapisane dane zawierają matematyczne „zabezpieczenia” – kody korekcyjne. Część uszkodzonych danych da się odtworzyć.
Sondy kosmiczne wysyłają zdjęcia z odległości miliardów kilometrów słabym sygnałem. Dzięki kodom korekcyjnym błędy powstałe po drodze można naprawić.
Gdy łączysz się z bankiem, Twój komputer i serwer wymieniają klucze oparte na ogromnych liczbach pierwszych – mających setki cyfr.
Jedynym szyfrem, którego nie da się złamać nawet teoretycznie, jest szyfr z kluczem losowym tak długim jak wiadomość, użytym tylko raz. Udowodnił to Claude Shannon.
Claude Shannon stworzył teorię informacji i spopularyzował słowo „bit” – najmniejszą jednostkę informacji. Bez niego nie byłoby nowoczesnej łączności.
Zgadując kolejne litery tekstu, można odgadnąć ich bardzo dużo, bo język jest przewidywalny. Dlatego teksty można skutecznie kompresować, np. w plikach ZIP.
Gdyby owinąć Ziemię liną wzdłuż równika, a potem wydłużyć linę o zaledwie 1 metr, uniosłaby się ona wszędzie nad ziemią o około 16 cm. Wystarczy, by przeszedł pod nią kot!
NASA do obliczania lotów kosmicznych używa tylko około 15 cyfr po przecinku liczby π. To wystarcza do bardzo dokładnych obliczeń w całym Układzie Słonecznym.
Komputery obliczyły już ponad 100 bilionów cyfr liczby π. Do niczego praktycznego to nie służy – to test mocy komputerów i ciekawość.
Bardzo prawdopodobne! W pierwszych kilkudziesięciu milionach cyfr π da się znaleźć praktycznie każdy ciąg sześciu cyfr, np. datę w formacie DDMMRR.
Rzucając igłę na podłogę z desek, możesz oszacować π! Prawdopodobieństwo, że igła przetnie szparę, zależy od π. To jedna z pierwszych metod „losowego” liczenia.
Inżynierowie elektrycy używają liczb zespolonych do obliczeń prądu zmiennego. Żeby nie mylić z oznaczeniem prądu (i), jednostkę urojoną zapisują jako j!
Choć w szkole liczymy głównie na ułamkach, liczb niewymiernych jest nieporównanie więcej niż wymiernych. Losowo wybrana liczba z osi to prawie na pewno liczba niewymierna!
Liczba π nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych. Dlatego nie da się „skwadratować koła” – zbudować cyrklem i linijką kwadratu o polu koła.
Kwadratura koła, podwojenie sześcianu i trysekcja kąta cyrklem i linijką – Grecy próbowali je rozwiązać przez stulecia. W XIX wieku udowodniono, że wszystkie trzy są niewykonalne!
Kopuły geodezyjne – np. w niektórych planetariach – są zbudowane z trójkątów. Są lekkie i bardzo wytrzymałe, bo obciążenie rozkłada się na wiele krawędzi.
Kopuła Panteonu w Rzymie ma średnicę około 43 m i przez prawie 2000 lat pozostaje największą kopułą z niezbrojonego betonu na świecie. Jej wnętrze idealnie zmieściłoby kulę!
Leonardo da Vinci narysował „Człowieka witruwiańskiego”, wpisanego w koło i kwadrat. Rozpiętość ramion człowieka jest mniej więcej równa jego wzrostowi – sprawdź na sobie!
Renesansowi malarze, tacy jak Brunelleschi i Piero della Francesca, wykorzystali geometrię do rysowania perspektywy. Dzięki temu obrazy zyskały głębię.
Każda kolejna oktawa to podwojenie częstotliwości dźwięku. Klawisze fortepianu tworzą więc ciąg geometryczny – częstotliwości sąsiednich dźwięków różnią się o czynnik równy dwunastemu pierwiastkowi z 2 (około 1,0595).
John Napier wymyślił logarytmy w 1614 roku. Zamieniały mnożenie na dodawanie. Laplace mówił, że logarytmy podwoiły życie astronomów, skracając ich obliczenia.
Przed kalkulatorami inżynierowie liczyli suwakiem logarytmicznym. Obliczenia do lotów Apollo na Księżyc wykonywano m.in. właśnie suwakami!
Zanim maszyny przejęły obliczenia, „komputerami” nazywano ludzi – często kobiety – którzy liczyli ręcznie. Katherine Johnson z NASA obliczała trajektorie lotów kosmicznych.
Modele matematyczne epidemii przewidują, jak szybko choroba się rozprzestrzenia. Kluczowa jest liczba R – ile osób średnio zaraża jeden chory.
Jeśli lilie na stawie podwajają powierzchnię co dzień i zakryją cały staw w 30 dni, to połowę stawu zakryją… 29. dnia! Wzrost wykładniczy jest zdradliwy.
Przez dziesiątki lat liczba tranzystorów w procesorach podwajała się mniej więcej co 2 lata. Dziś procesor ma ich dziesiątki miliardów.
Kredyt na 30 lat przy 7% rocznie oznacza, że w sumie oddasz bankowi ponad dwa razy więcej, niż pożyczyłeś. Procent składany działa też przeciwko nam!
Gdy inflacja wynosi 10%, za 100 zł kupisz po roku tyle, ile wcześniej za około 91 zł. Pieniądze tracą wartość – i to też jest matematyka.
Sondaż na 1000 osobach ma błąd statystyczny około 3 punktów procentowych. Dlatego wyniki 31% i 29% mogą w rzeczywistości oznaczać remis.
Żeby sondaż był wiarygodny, osoby muszą być wybrane losowo. Ankieta tylko wśród fanów jednej drużyny nie powie nic o wszystkich kibicach!
Wzrost ludzi, wyniki testów czy masa jabłek układają się często w „krzywą dzwonową”. Najwięcej wartości jest blisko średniej, a skrajnych – mało.
Spadające przez gwoździe kulki w desce Galtona układają się na dole w kształt dzwonu. To piękny pokaz, jak z przypadku wyłania się porządek.
Psycholodzy odkryli, że w pamięci krótkotrwałej mieścimy zwykle około 7 elementów. Dlatego numery telefonów dzieli się na krótkie grupy cyfr.
Najczęstsze kody PIN to 1234, 1111 i 0000. Matematycy analizujący wycieki danych ostrzegają: data urodzenia też łatwo zgadnąć!
Ruchy kostki Rubika tworzą tzw. grupę – strukturę badaną w algebrze abstrakcyjnej. Rozumienie grup pozwala tworzyć algorytmy układania kostki.
W pałacu Alhambra w Hiszpanii mozaiki zawierają wiele z 17 możliwych typów symetrii wzorów na płaszczyźnie. Matematycy udowodnili, że więcej typów nie ma!
Roger Penrose wymyślił dwa kształty płytek, którymi można wyłożyć nieskończoną podłogę, ale wzór nigdy się nie powtarza. Później takie struktury odkryto w kryształach!
W 2023 roku odkryto pojedynczy kształt – nazwany „kapeluszem” – którym można wyłożyć płaszczyznę wyłącznie bez powtarzającego się wzoru. Odkrył go amator, Brytyjczyk David Smith!
Nie trzeba być profesorem, by odkryć coś nowego. Gospodyni domowa Marjorie Rice w latach 70. odkryła kilka nowych pięciokątów pokrywających płaszczyznę, czytając rubrykę w czasopiśmie.
Istnieje dokładnie 15 typów wypukłych pięciokątów, którymi da się wyłożyć płaszczyznę. Ostatni typ znaleziono w 2015 roku, a dowód, że więcej nie ma, ogłoszono w 2017.
Rok 2048 będzie rokiem 2¹¹. Ostatni taki rok był w 1024 – a następny będzie dopiero w 4096!
Rok 2027 będzie liczbą pierwszą, podobnie jak 2029. To para liczb pierwszych bliźniaczych!
Na egzaminie z zadaniami zamkniętymi warto najpierw rozwiązać pewne zadania, a trudne zostawić na koniec. Optymalizacja czasu to też matematyka!
Enrico Fermi zadawał pytania typu: „Ilu stroicieli fortepianów pracuje w Chicago?”. Rozkładając je na proste kroki, można oszacować wynik z zaskakującą dokładnością.
Zadania Fermiego zadaje się na rozmowach kwalifikacyjnych. Nie chodzi o dokładny wynik, ale o rozumowanie: objętość autobusu podzielona przez objętość piłki – z poprawką na puste przestrzenie.
Pomarańcze ułożone w piramidę w sklepie wypełniają około 74% przestrzeni. Kepler przypuszczał, że gęściej się nie da. Dowód tej hipotezy sprawdzony komputerowo zakończono dopiero w 2014 roku!
Twierdzenie o czterech barwach było pierwszym ważnym twierdzeniem udowodnionym z ogromną pomocą komputera (1976). Wielu matematyków długo miało z tym problem!
Dziś matematycy używają komputerów do stawiania hipotez i sprawdzania przypadków. Ale ostateczny dowód wciąż musi być logicznym rozumowaniem.
Oszczędzając co miesiąc o 10 zł więcej niż poprzednio (10, 20, 30…), po roku odłożysz 780 zł. Suma ciągu arytmetycznego – sztuczka Gaussa!
List łańcuszkowy wysłany do 5 osób, z których każda wysyła do kolejnych 5, w samym dziesiątym kroku trafiłby do prawie 10 milionów ludzi. Ciąg geometryczny rośnie lawinowo.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki trwa 125 minut (bez wydłużenia czasu). Część zadań jest zamknięta, a część otwarta – w otwartych liczy się zapis rozumowania!
W 1999 roku sonda NASA Mars Climate Orbiter rozbiła się, bo jeden zespół liczył w jednostkach amerykańskich, a drugi w metrycznych. Sprawdzaj jednostki!
Zdarzały się pomyłki w przelewach bankowych, gdy ktoś wpisał kwotę bez przecinka – i zamiast setek przelał setki tysięcy. Liczby wymagają uważności!
Wszechświat ma około 13,8 miliarda lat. Gdyby skrócić go do jednego roku, ludzie pojawiliby się dopiero 31 grudnia, kilka minut przed północą.
W 18 gramach wody (mniej niż łyżka) jest około 6 · 10²³ cząsteczek. Gdyby każda była ziarnkiem piasku, przykryłyby całą Polskę grubą warstwą!
Fizycy mierzą rzeczy od wielkości protonu (około 10⁻¹⁵ m) do rozmiaru obserwowalnego Wszechświata (około 10²⁶ m). To ponad 40 rzędów wielkości!
Filozofowie od wieków spierają się, czy liczby istnieją niezależnie od ludzi, czy je wymyśliliśmy. Platon uważał, że istnieją w świecie idei. A Ty jak sądzisz?
Fizyk Eugene Wigner pisał o „niepojętej skuteczności matematyki” w opisie przyrody. Równania wymyślone na papierze zadziwiająco dobrze opisują ruch planet i atomów.
Einstein przewidział fale grawitacyjne w równaniach w 1916 roku. Wykryto je dopiero w 2015 roku – prawie 100 lat później. Matematyka wyprzedziła eksperyment!
Czarne dziury najpierw pojawiły się jako rozwiązania równań Einsteina. Dopiero później astronomowie znaleźli dowody, że naprawdę istnieją – a w 2019 roku sfotografowano jedną z nich.
Analitycy danych, programiści, inżynierowie AI, aktuariusze w ubezpieczeniach – w wielu najlepiej opłacanych zawodach podstawą jest matematyka.
Hardy i Littlewood, dwaj słynni angielscy matematycy, pisali do siebie listy, choć mieszkali blisko siebie na tym samym uniwersytecie. Ustalili zasadę, że nikt nie musi odpowiadać ani nawet czytać!
Paul Erdős nie miał stałego domu. Podróżował z walizką od matematyka do matematyka, pracując nad zadaniami. Napisał prace z ponad 500 współautorami!
Matematycy liczą swoją „odległość” od Erdősa: kto pisał z nim pracę, ma liczbę Erdősa 1, kto pisał z jego współpracownikiem – 2 itd. Nawet niektórzy nobliści mają małą liczbę Erdősa!
Wielu matematyków prawie nie liczy na liczbach! Zajmują się kształtami, logiką, strukturami i wzorami. Matematyka to nauka o wzorcach – wszystkich, nie tylko liczbowych.
Jeśli pokroisz pizzę przez jeden punkt na 8 kawałków pod równymi kątami 45° i weźmiesz co drugi kawałek, dostaniesz dokładnie połowę pizzy – nawet gdy punkt cięcia nie jest środkiem! Matematycy nazywają to twierdzeniem o pizzy.
Jednym prostym cięciem noża zawsze da się podzielić na pół jednocześnie chleb, szynkę i ser – niezależnie od tego, jak są ułożone. To prawdziwe twierdzenie matematyczne!