Kto wymyślił liczby?
Nikt nie wymyślił ich sam! Liczenie rozwijało się powoli w wielu miejscach świata. Najpierw były nacięcia na kościach, potem znaki w Mezopotamii i Egipcie, a cyfry, których używamy, powstały w Indiach.
Ciekawostki › klasa 4
101 ciekawostek o liczbach, figurach i historii matematyki – dobranych do wieku ucznia 4. klasy. W aplikacji Qmaty możesz odkrywać je po jednej i zbierać kolejne.
Nikt nie wymyślił ich sam! Liczenie rozwijało się powoli w wielu miejscach świata. Najpierw były nacięcia na kościach, potem znaki w Mezopotamii i Egipcie, a cyfry, których używamy, powstały w Indiach.
Ponad 5000 lat temu Sumerowie w Mezopotamii odciskali liczby rylcem w glinianych tabliczkach. Liczyli w nich zboże, owce i podatki.
Zero dotarło do Europy dopiero około 800 lat temu, głównie dzięki książce Fibonacciego „Liber Abaci”. Wielu kupców długo mu nie ufało!
We Florencji w 1299 roku zakazano kupcom używania cyfr arabskich w księgach. Bano się, że łatwo je podrobić – na przykład dopisać zero.
Liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3. Na przykład 4 671: 4 + 6 + 7 + 1 = 18, a 18 dzieli się przez 3, więc 4 671 też!
Tak samo z dziewiątką: 729 → 7 + 2 + 9 = 18, a 18 dzieli się przez 9. Zatem 729 dzieli się przez 9 (wynik to 81).
Liczba dzieli się przez 4, jeśli liczba z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. 1 316 → 16 dzieli się przez 4, więc 1 316 też.
Przez 10 dzielą się liczby zakończone zerem, a przez 5 – zakończone zerem lub piątką. Najprostsze cechy podzielności!
Ponad 2000 lat temu grecki uczony Eratostenes wymyślił sposób na znajdowanie liczb pierwszych: wypisujesz liczby i skreślasz wielokrotności 2, 3, 5, 7… Co zostanie – to liczby pierwsze.
Ten sam Eratostenes obliczył obwód Ziemi, mierząc cienie w dwóch miastach w Egipcie. Pomylił się tylko o kilka procent – bez satelitów i GPS!
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie. Jedynka ma tylko jeden dzielnik, więc nie jest pierwsza ani złożona.
Już ponad 2000 lat temu Euklides udowodnił, że liczby pierwsze nigdy się nie kończą. Zawsze znajdzie się kolejna.
Liczby pierwsze różniące się o 2, np. 11 i 13 albo 17 i 19, nazywamy bliźniaczymi. Do dziś nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele!
Liczba 6 jest doskonała: jej dzielniki (bez niej samej) to 1, 2 i 3, a 1 + 2 + 3 = 6. Następna doskonała liczba to 28.
Egipcjanie zapisywali ułamki jako sumy ułamków z jedynką w liczniku. Na przykład 3/4 zapisywali jako 1/2 + 1/4.
Egipski symbol Oka Horusa dzielono na części oznaczające ułamki: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64. Ich suma to prawie 1, ale nie całkiem!
Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. 3/4 to 3 : 4. Dlatego 3 pizze podzielone na 4 osoby to 3/4 pizzy dla każdego.
1/8 pizzy jest mniejsza niż 1/4 pizzy! Im na więcej części dzielimy, tym mniejsze są kawałki.
Połowa z połowy to ćwierć: 1/2 z 1/2 = 1/4. A połowa ćwierci to 1/8. Spróbuj złożyć kartkę trzy razy na pół – zobaczysz 8 części.
Słowo „procent” pochodzi z łaciny: „pro centum” – „na sto”. 50% to 50 ze stu, czyli połowa.
Znak % powstał z pośpiesznie pisanego skrótu „per cento”. Z czasem „cento” zamieniło się w kółko, kreskę i drugie kółko.
Przecinek oddziela całości od części. 2,5 kg to 2 kilogramy i pół kilograma. W Polsce piszemy przecinek, a w USA – kropkę: 2.5.
W Polsce i większości Europy piszemy 3,14, a w Anglii i USA – 3.14. Na kalkulatorze zawsze zobaczysz kropkę!
Pełny obrót to 360 stopni. Dlaczego akurat 360? Prawdopodobnie dlatego, że rok ma około 360 dni, a Babilończycy lubili liczbę 60.
Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180 stopni. Wytnij trójkąt z papieru, oderwij trzy rogi i ułóż je obok siebie – utworzą kąt półpełny!
Suma kątów w każdym czworokącie to 360 stopni. Czworokąt zawsze da się podzielić na dwa trójkąty: 2 · 180 = 360.
Kąt mniejszy od prostego jest ostry, większy – rozwarty. Wskazówki zegara o 3:00 tworzą kąt prosty, a o 1:00 – ostry.
Między sąsiednimi liczbami na tarczy zegara jest 30 stopni (bo 360 : 12 = 30). O 2:00 wskazówki tworzą kąt 60 stopni.
Dwie figury mogą mieć ten sam obwód, a różne pola. Prostokąt 1 × 9 i kwadrat 5 × 5 mają obwód 20, ale pola 9 i 25!
Ze wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat. Dlatego wiele zagród dla zwierząt ma kształt zbliżony do kwadratu.
Ze wszystkich figur o tym samym obwodzie największe pole ma koło. Dlatego krople i bańki mydlane są okrągłe!
Bańka mydlana przyjmuje kształt kuli, bo kula ma najmniejszą powierzchnię przy danej objętości. Natura jest oszczędna!
Metr kwadratowy to pole kwadratu o boku 1 metra. Pokój dziecka ma często 10–15 m², a boisko do piłki nożnej – około 7000 m².
Hektar to pole kwadratu 100 m × 100 m, czyli 10 000 m². Boisko do piłki nożnej ma mniej więcej trzy czwarte hektara.
Ar to kwadrat 10 m × 10 m, czyli 100 m². Działki budowlane często mierzy się w arach.
W kilogramie ryżu jest około 50 000 ziarenek. Nikt ich nie liczy – wystarczy policzyć ziarna w 1 gramie i pomnożyć przez 1000!
Matematycy nie zawsze liczą dokładnie. Często szacują: „ile osób jest na stadionie?” – liczą jeden sektor i mnożą przez liczbę sektorów.
1 000 000 000 – miliard ma 9 zer. Miliard sekund to prawie 32 lata!
W Polsce bilion to milion milionów (12 zer). Amerykanie słowem „billion” nazywają nasz miliard (9 zer). Łatwo o pomyłkę w tłumaczeniu!
Googol to jedynka ze stoma zerami. Nazwę wymyślił 9-letni chłopiec, siostrzeniec matematyka Edwarda Kasnera. Od niej pochodzi nazwa firmy Google!
Znak ∞ oznacza nieskończoność. Wprowadził go angielski matematyk John Wallis w XVII wieku. Wygląda jak położona ósemka.
Wyobraź sobie hotel z nieskończenie wieloma pokojami – wszystkie zajęte. Przychodzi nowy gość. Każdy przenosi się do pokoju o numer wyżej i… pokój 1 jest wolny! Nieskończoność potrafi zaskakiwać.
Pitagoras żył ponad 2500 lat temu. Jego uczniowie wierzyli, że „wszystko jest liczbą”. Mieli też dziwne zasady – podobno nie wolno im było jeść fasoli!
Archimedes podobno wpadł na genialny pomysł w wannie: zauważył, że woda się podnosi, gdy się zanurza. Wybiegł na ulicę krzycząc „Eureka!” – „Znalazłem!”.
Archimedes mówił: „Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię”. Chodziło mu o dźwignię – dzięki niej małą siłą podniesiesz duży ciężar.
Euklides napisał „Elementy” – podręcznik geometrii, z którego uczono się przez ponad 2000 lat! To jedna z najczęściej wydawanych książek w historii.
Hypatia żyła około 1600 lat temu w Aleksandrii. Była wybitną matematyczką i nauczycielką, jedną z pierwszych znanych kobiet-uczonych.
Przez wieki europejscy matematycy nie ufali liczbom ujemnym i nazywali je „absurdalnymi”. Za to w Chinach liczono na czerwonych i czarnych pałeczkach – dodatnich i ujemnych – już 2000 lat temu.
Mikołaj Kopernik, który odkrył, że Ziemia krąży wokół Słońca, był świetnym matematykiem. Napisał też traktat o pieniądzach i ich wartości.
Jeśli Twój krok ma 50 cm, a do szkoły jest 1 km, zrobisz 2000 kroków. W tę i z powrotem – 4000!
Światło pokonuje około 300 000 km w sekundę. Mogłoby okrążyć Ziemię prawie 7,5 razy w ciągu jednej sekundy!
Światło ze Słońca leci do Ziemi około 8 minut. Gdy patrzysz na Słońce, widzisz je takim, jakie było 8 minut temu.
Dźwięk pokonuje około 1 km w 3 sekundy. Policz sekundy od błyskawicy do grzmotu i podziel przez 3 – dowiesz się, ile kilometrów od Ciebie jest burza!
Rok świetlny to odległość, którą światło pokonuje w rok – prawie 10 bilionów kilometrów. Najbliższa gwiazda poza Słońcem jest ponad 4 lata świetlne od nas.
Jeśli obwód piłki podzielisz przez jej średnicę, wyjdzie zawsze około 3,14. Tak samo z talerzem, kołem roweru i Księżycem. Ta liczba to π (pi).
Tangram to kwadrat pocięty na 7 części: 5 trójkątów, kwadrat i równoległobok. Można z nich ułożyć tysiące kształtów – zwierzęta, ludzi, łodzie.
Weź pasek papieru, przekręć jeden koniec o pół obrotu i sklej końce. Narysuj linię wzdłuż środka – wrócisz do początku po obu stronach paska! Ta wstęga ma tylko jedną stronę.
Przetnij wstęgę Möbiusa wzdłuż środka. Zamiast dwóch wstążek dostaniesz jedną, dwa razy dłuższą! Spróbuj w domu.
W Królewcu było 7 mostów. Mieszkańcy pytali: czy da się przejść przez każdy dokładnie raz? Leonhard Euler udowodnił w 1736 roku, że się nie da. Tak narodziła się nowa dziedzina matematyki – teoria grafów.
Każdą mapę da się pokolorować tylko 4 kolorami tak, żeby sąsiednie kraje miały różne kolory. Udowodniono to dopiero w 1976 roku – z pomocą komputera!
Rolnik musi przewieźć łódką wilka, kozę i kapustę, ale mieści się tylko z jedną rzeczą. Wilka nie można zostawić z kozą, a kozy z kapustą. To zagadka sprzed ponad 1000 lat!
W łamigłówce Wieże Hanoi przekładasz krążki z jednego słupka na drugi. Dla 3 krążków potrzeba 7 ruchów, dla 4 – 15, a dla 64 krążków… ponad 500 miliardów lat przy jednym ruchu na sekundę!
Możliwych partii szachów jest więcej niż atomów w widzialnym Wszechświecie. Nic dziwnego, że każda partia jest inna!
Talię 52 kart można potasować na tyle sposobów, że prawdopodobnie każde porządne tasowanie w historii dało układ, którego nikt wcześniej nie widział!
Jeśli w klasie są 23 osoby, szansa, że dwie mają urodziny tego samego dnia, jest większa niż połowa! Brzmi dziwnie, ale tak wychodzi z obliczeń.
Seria 10 orłów z rzędu jest tak samo prawdopodobna jak dowolna inna konkretna seria, na przykład O R R O R O O R R O. Moneta nie pamięta poprzednich rzutów!
Jeśli w pokoju jest 9 osób z kieszonkowym 10 zł i jedna z 910 zł, to średnio każda ma 100 zł. Ale prawie nikt nie ma tyle!
Florence Nightingale, słynna pielęgniarka, rysowała kolorowe wykresy, żeby przekonać rząd do poprawy warunków w szpitalach. Pokazała, że więcej żołnierzy umiera z chorób niż z ran.
Numer PESEL ma 11 cyfr. Pierwsze sześć to data urodzenia, a ostatnia jest cyfrą kontrolną obliczaną z pozostałych. Dzięki temu łatwo wykryć pomyłkę w przepisywaniu.
Juliusz Cezar szyfrował listy, przesuwając każdą literę alfabetu o 3 miejsca: A → D, B → E. Proste, ale wrogowie długo nie mogli tego rozgryźć!
Polscy matematycy – Marian Rejewski, Jerzy Różycki i Henryk Zygalski – złamali szyfr niemieckiej maszyny Enigma. To pomogło aliantom wygrać II wojnę światową.
Lwowscy matematycy spotykali się w Kawiarni Szkockiej i zapisywali zadania w grubym zeszycie – „Księdze Szkockiej”. Za rozwiązanie niektórych zadań obiecywano nagrody, na przykład żywą gęś!
Stefan Banach był jednym z najwybitniejszych polskich matematyków. Był w dużej mierze samoukiem, a dziś jego nazwiskiem nazywa się ważne pojęcia matematyczne.
Maria Skłodowska-Curie, dwukrotna noblistka, była świetna z matematyki. Fizyka i chemia bez obliczeń nie byłyby możliwe!
Muszla ślimaka i łodzika tworzy spiralę, która rośnie równomiernie, zachowując ten sam kształt. To spirala logarytmiczna.
Sześciokąty w plastrze idealnie wypełniają płaszczyznę bez dziur. Takie figury umieją to tylko trzy foremne: trójkąty, kwadraty i sześciokąty.
Kafelkami w kształcie kwadratów, trójkątów równobocznych i sześciokątów foremnych wyłożysz podłogę bez szpar. Pięciokątami foremnymi się nie da – zostaną dziury!
Rok przestępny jest co 4 lata, ale lata kończące stulecie (np. 1900) nie są przestępne – chyba że dzielą się przez 400. Dlatego rok 2000 był przestępny, a 2100 nie będzie.
24 · 60 · 60 = 86 400 sekund. Tyle sekund masz każdego dnia!
Ziemia obraca się troszkę nierówno. Dlatego czasem do doby dodaje się jedną dodatkową sekundę – sekundę przestępną.
Gdy w Polsce jest południe, w Nowym Jorku jest 6 rano, a w Tokio – 20:00. Ziemię podzielono na 24 strefy czasowe, mniej więcej po jednej na każdą godzinę.
Kierunki na kompasie też mierzymy w stopniach: północ to 0°, wschód 90°, południe 180°, zachód 270°.
W USA temperaturę mierzy się w stopniach Fahrenheita. Woda zamarza tam w 32 °F, a wrze w 212 °F. Pokój ma około 70 °F.
W USA i Wielkiej Brytanii używa się cali i stóp. Cal ma około 2,5 cm. Ekrany telewizorów do dziś mierzy się w calach – po przekątnej!
Mila ma około 1,6 km. W Wielkiej Brytanii znaki drogowe pokazują odległości w milach.
Najkrótsza droga między dwoma punktami na kartce to odcinek. Ale na kuli – na przykład na Ziemi – jest nią łuk. Dlatego samoloty do Ameryki lecą nad Grenlandią!
Bieg maratoński ma 42,195 km. Ta dziwna długość wzięła się z igrzysk w Londynie w 1908 roku – trasę ustalono od zamku Windsor do loży królewskiej na stadionie.
Kosz do koszykówki wisi na wysokości 3,05 metra. To 10 stóp – bo grę wymyślono w USA.
W tenisie punkty liczy się: 15, 30, 40. Jedna z teorii mówi, że wzięło się to od tarczy zegara: 15, 30, 45 – a 45 skrócono do 40.
Kostka cukru ma kształt prawie sześcianu. Opakowanie cukru w kostkach to prostopadłościan wypełniony małymi sześcianami.
Litr to objętość sześcianu o boku 10 cm. Kartonik z sokiem ma zwykle 1 litr – sprawdź, czy jego wymiary pomnożone dadzą około 1000 cm³.
Puzzle 1000 elementów to często prostokąt 40 × 25 kawałków. Bo 40 · 25 = 1000!
Na szachownicy jest nie 64, ale aż 204 kwadraty! Liczą się też kwadraty 2 × 2, 3 × 3 i większe, aż do całej planszy 8 × 8.
Nawet w małej siatce 3 × 3 kratki jest aż 36 prostokątów! Liczy się wszystkie: małe, duże, wąskie i szerokie.
Jeśli 5 osób przywita się każdy z każdym, będzie 10 uścisków dłoni. Dla 10 osób – aż 45!
220 i 284 to liczby przyjazne: suma dzielników 220 (bez niej samej) to 284, a suma dzielników 284 to 220. Znali je już starożytni Grecy.
Pomnóż 142 857 przez 2, 3, 4, 5 albo 6. Za każdym razem dostaniesz te same cyfry, tylko przesunięte w kółko: 285 714, 428 571, 571 428… A razy 7? Wyjdzie 999 999!
12 · 42 = 504 i 21 · 24 = 504. Odwrócenie cyfr w obu liczbach nie zmieniło wyniku! Takich par jest więcej, np. 13 · 62 i 31 · 26.
Naukowcy szacują, że na Ziemi żyje około 20 biliardów mrówek. Razem mogą ważyć więcej niż wszystkie dzikie ptaki i ssaki razem wzięte!
Majowie mieli kalendarz złożony z kilku cykli, np. 260 dni i 365 dni. Te same kombinacje dat powtarzały się dopiero co 52 lata.
Polskie nazwy dni są „liczbowe”: wtorek to „wtóry”, czyli drugi dzień, czwartek – czwarty, piątek – piąty. A środa leży w środku tygodnia!