Skąd słowo „algebra”?
Słowo „algebra” pochodzi z tytułu książki perskiego uczonego al-Chwarizmiego z IX wieku. „Al-dżabr” oznaczało „uzupełnianie” – przenoszenie wyrazów na drugą stronę równania.
Ciekawostki › klasa 6
100 ciekawostek o liczbach, figurach i historii matematyki – dobranych do wieku ucznia 6. klasy. W aplikacji Qmaty możesz odkrywać je po jednej i zbierać kolejne.
Słowo „algebra” pochodzi z tytułu książki perskiego uczonego al-Chwarizmiego z IX wieku. „Al-dżabr” oznaczało „uzupełnianie” – przenoszenie wyrazów na drugą stronę równania.
Słowo „algorytm” pochodzi od nazwiska al-Chwarizmiego. Algorytm to przepis krok po kroku – jak przepis na ciasto, tylko dla komputera.
Zwyczaj oznaczania niewiadomych literami x, y, z spopularyzował René Descartes w XVII wieku. Dlaczego akurat x? Tego nikt nie wie na pewno – krąży wiele teorii.
Równanie przypomina wagę szalkową w równowadze. Gdy z obu stron dodasz lub odejmiesz to samo, waga dalej jest w równowadze. Dlatego tak rozwiązujemy równania!
Na grobie Diofantosa podobno zapisano zagadkę: jego dzieciństwo trwało 1/6 życia, młodość 1/12, potem 1/7 do ślubu… Rozwiązując równanie, wychodzi, że żył 84 lata.
Legenda mówi, że Descartes, leżąc w łóżku, obserwował muchę na suficie i wymyślił, jak opisać jej położenie dwiema liczbami. Tak powstał układ współrzędnych!
Polska nazwa „układ kartezjański” pochodzi od łacińskiej wersji nazwiska Descartes – Cartesius.
Każde miejsce na Ziemi ma swoje współrzędne: szerokość i długość geograficzną. Warszawa leży mniej więcej na 52° szerokości północnej i 21° długości wschodniej.
W systemie dwójkowym 1 to 1, 2 to 10, 3 to 11, 4 to 100, 5 to 101. Komputery liczą właśnie tak – zera i jedynki to prąd wyłączony i włączony.
Każdy palec to jedna cyfra dwójkowa: kciuk = 1, wskazujący = 2, środkowy = 4, serdeczny = 8, mały = 16. Wyprostowane palce sumujesz. Na jednej ręce policzysz do 31, a na dwóch – do 1023!
Kolory na stronach internetowych zapisuje się w systemie szesnastkowym, np. #FF0000 to czerwony. Cyfry tego systemu to 0–9 i litery A–F.
Kod QR to kwadrat z czarnych i białych pól, które oznaczają zera i jedynki. Nawet jeśli część kodu jest zniszczona, telefon często go odczyta – kod ma wbudowaną „zapasową” informację.
Gdy bank dopisuje odsetki od odsetek, pieniądze rosną coraz szybciej. Einsteinowi przypisuje się (prawdopodobnie błędnie) zdanie, że procent składany to najpotężniejsza siła we Wszechświecie.
Chcesz wiedzieć, po ilu latach podwoją się pieniądze w banku? Podziel 72 przez oprocentowanie. Przy 6% rocznie – po około 12 latach.
Cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Czy wróciła do początku? Nie! 100 zł → 110 zł → 99 zł. Procenty liczymy za każdym razem od innej kwoty.
W Polsce w cenie większości produktów jest 23% podatku VAT. Cena 123 zł zawiera 100 zł wartości towaru i 23 zł podatku.
Promil (‰) to jedna tysięczna, czyli 0,1%. Promil używa się np. przy zasoleniu mórz – Bałtyk ma około 7‰ soli.
Siłę wiatru opisuje skala Beauforta od 0 (cisza) do 12 (huragan). Wymyślono ją dla marynarzy ponad 200 lat temu.
Skala trzęsień ziemi jest „logarytmiczna”: trzęsienie o 1 stopień silniejsze uwalnia około 32 razy więcej energii. Stopień 7 to już około 1000 razy więcej niż 5!
Głośność mierzymy w decybelach. Wzrost o 10 dB oznacza dźwięk 10 razy silniejszy. Szept ma około 30 dB, a koncert rockowy – nawet 110 dB.
Basen olimpijski ma 50 m długości, 25 m szerokości i co najmniej 2 m głębokości. To co najmniej 2500 m³, czyli 2,5 miliona litrów wody!
Pijąc 2 litry dziennie, przez 80 lat wypijesz prawie 60 000 litrów wody. To tyle, ile mieści przydomowy basen ogrodowy!
Lód ma mniejszą gęstość niż woda – zajmuje o około 9% więcej miejsca. Dlatego pływa, a góra lodowa wystaje nad wodę tylko w około 1/10.
Litr to objętość sześcianu o boku 1 dm, czyli 10 cm. Metr sześcienny to aż 1000 litrów – mniej więcej tyle wody mieści się w dużym jacuzzi.
Ołówek sześciokątny to graniastosłup sześciokątny. Pudełko po zapałkach – prostopadłościan. A namiot często ma kształt graniastosłupa trójkątnego.
Sześciokątny ołówek nie stacza się ze stołu, a jednocześnie wygodnie leży w palcach. Poza tym z jednej deseczki da się wyciąć więcej ołówków sześciokątnych niż okrągłych.
Piramida Cheopsa w Gizie ma około 4500 lat. Pierwotnie miała prawie 147 metrów wysokości i przez ponad 3800 lat była najwyższą budowlą świata.
Podstawa piramidy Cheopsa jest kwadratem o boku około 230 m. Budowniczowie ustawili ją niemal idealnie zgodnie z kierunkami świata – z błędem mniejszym niż jedna dziesiąta stopnia!
Graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt, ma 3n krawędzi, 2n wierzchołków i n + 2 ścian. Sprawdź na sześcianie: n = 4 → 12 krawędzi, 8 wierzchołków, 6 ścian.
Kostka Rubika ma 6 ścian po 9 kwadracików, czyli 54 kolorowe pola. Mimo to składa się tylko z 26 widocznych elementów.
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność. 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2 = 3/2. Odwrotność 1/2 to 2!
Liczba i jej odwrotność dają razem w iloczynie zawsze 1: 5 · 1/5 = 1, 2/3 · 3/2 = 1. Tylko zero nie ma odwrotności.
1/8 = 0,125 – rozwinięcie się kończy. 1/7 = 0,142857142857… – powtarza się w nieskończoność. Rozwinięcie skończone mają tylko ułamki, w których mianowniku (po skróceniu) są same dwójki i piątki.
Rozwinięcie 1/7 to 0,(142857). A 2/7 = 0,(285714) – te same cyfry, tylko przesunięte! Sprawdź 3/7.
Każdy ułamek da się zapisać jako sumę różnych ułamków z jedynką w liczniku, np. 5/6 = 1/2 + 1/3. Matematycy wciąż badają zagadki związane z tymi ułamkami.
Suma kątów wewnętrznych n-kąta to (n − 2) · 180°. Pięciokąt: 540°, sześciokąt: 720°. Bo każdy n-kąt wypukły da się podzielić na n − 2 trójkątów.
Każdy kąt sześciokąta foremnego ma 120°. Trzy takie kąty dają razem 360° – dlatego sześciokąty idealnie pasują do siebie w plastrze miodu!
W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem. To zaskakuje wielu uczniów, a jest całkowicie poprawne!
Jak zmierzyć wysokość drzewa bez wspinania się? Zmierz jego cień i cień patyka o znanej długości. Proporcja zrobi resztę! Tak podobno Tales zmierzył piramidę.
Tales był jednym z pierwszych greckich matematyków. Podobno przewidział zaćmienie Słońca w 585 roku p.n.e.
W wielu budynkach piętra pod ziemią oznacza się −1, −2. Z piętra 3 na −2 zjedziesz o 5 pięter, bo 3 − (−2) = 5.
W cieniu w przestrzeni kosmicznej temperatura może spaść poniżej −200 °C, a w pełnym słońcu powierzchnia statku nagrzewa się do ponad +100 °C.
Najniższa możliwa temperatura to −273,15 °C – zero absolutne. Zimniej być nie może!
Arkusz kalkulacyjny to algebra w praktyce: wpisujesz wzór „=A1*2+B1”, a komputer podstawia liczby za litery. Tak liczy się budżety i oceny.
2 + 3 · 4 to 14, a nie 20! Mnożenie wykonujemy przed dodawaniem. Wiele osób daje się na tym złapać w zagadkach w internecie.
(2 + 3) · 4 = 20. Nawiasy mówią: „to licz najpierw”. Bez nich matematycy z różnych krajów nie mogliby się porozumieć.
Kropkę jako znak mnożenia wprowadził Gottfried Leibniz. Uważał, że krzyżyk „×” myli się z literą x.
Znak ÷ (obelus) jest popularny w USA i Wielkiej Brytanii. W Polsce dzielimy dwukropkiem albo kreską ułamkową.
Gdy masz oceny 1, 5, 5, 5, 5, średnia to 4,2, a mediana – 5. Jedna słaba ocena mocno obniża średnią, ale nie medianę.
Dominanta to wartość, która powtarza się najczęściej. W sklepie z butami najważniejsza jest dominanta – rozmiar, który kupuje najwięcej osób!
Diagram kołowy pokazuje części całości jako wycinki koła. Cały wykres to 100%, czyli 360°. 25% to ćwiartka koła – 90°.
Gdy oś wykresu nie zaczyna się od zera, mała różnica może wyglądać na ogromną. Zawsze sprawdzaj liczby na osiach!
Celsjusz najpierw ustalił, że woda wrze w 0, a zamarza w 100 stopniach! Dopiero później skalę odwrócono do dzisiejszej postaci.
Rakieta, żeby uciec z Ziemi, musi rozpędzić się do około 11 km na sekundę. To ponad 40 000 km/h!
Na morzu i w lotnictwie prędkość mierzy się w węzłach: 1 węzeł to 1 mila morska na godzinę, czyli około 1,85 km/h.
Dawni żeglarze wyrzucali za burtę linę z węzłami zawiązanymi w równych odstępach i liczyli, ile węzłów przewinie się w określonym czasie. Stąd jednostka prędkości!
DNA zapisuje informacje za pomocą 4 „liter”: A, C, G i T. Ludzki genom ma ich około 3 miliardów!
Ciało człowieka składa się z około 30–40 bilionów komórek. To kilka tysięcy razy więcej niż ludzi na Ziemi.
Kwadrat liczby bliskiej 50: 48² = (50 − 2)². Albo sztuczka: 48 · 48 = 46 · 50 + 2 · 2 = 2300 + 4 = 2304.
21 · 19 = 20² − 1² = 399. Gdy liczby są równo oddalone od „okrągłej” liczby, mnożysz w sekundę!
Suma dwóch kolejnych liczb trójkątnych to zawsze liczba kwadratowa: 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16. Narysuj to kropkami!
Grecki filozof Zenon twierdził, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia: gdy dobiegnie tam, gdzie był żółw, ten już przesunie się dalej. Matematyka odpowiada: nieskończenie wiele kroków może mieć skończoną sumę!
Gdy dodajesz w nieskończoność 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…, suma nigdy nie przekroczy 1, ale zbliża się do 1 dowolnie blisko. Wyobraź sobie zjadanie zawsze połowy pozostałej czekolady.
W teleturnieju są 3 drzwi, za jednymi samochód. Wybierasz jedne, prowadzący otwiera inne, puste. Opłaca się zmienić wybór! Szansa wygranej rośnie z 1/3 do 2/3.
Po pięciu orłach z rzędu szansa na orła w następnym rzucie wciąż wynosi 1/2. Przekonanie, że „teraz musi wypaść reszka”, to błąd hazardzisty.
4 osoby mogą stanąć w kolejce na 24 sposoby, a 10 osób – na ponad 3,6 miliona sposobów! Liczba ta rośnie bardzo szybko.
Iloczyn 1 · 2 · 3 · … · n nazywamy silnią i zapisujemy n!. 5! = 120. A 10! = 3 628 800 – stąd poprzednia ciekawostka.
W lodziarni jest 10 smaków. Ile różnych zestawów z dwóch różnych gałek wybierzesz? 45! A z trzech – aż 120.
Z jednego rogu planszy 3 × 3 kratki do przeciwnego, idąc tylko w prawo i w górę, możesz przejść na 20 sposobów. Liczy się to tak samo jak kombinacje!
W trójkącie Pascala każda liczba to suma dwóch nad nią: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1… Ukrywa liczby trójkątne, potęgi dwójki i ciąg Fibonacciego!
Utwór w metrum 3/4 to walc, a 4/4 – większość piosenek pop. Metrum zapisuje się jak ułamek!
Przepis na 12 naleśników: 2 jajka, 500 ml mleka, 250 g mąki. Na 18 naleśników bierzemy wszystkiego 1,5 raza więcej. Proporcje to codzienność kucharza.
Gdy 4 malarzy maluje płot w 6 godzin, to 8 malarzy pomaluje go w 3 godziny. Więcej osób – mniej czasu. To proporcjonalność odwrotna.
Zoom na mapie w telefonie to zmiana skali. Na dole ekranu widać odcinek z opisem, ile metrów w terenie mu odpowiada.
Gdy w Polsce jest 31 grudnia o 13:00, na wyspie Kiribati jest już Nowy Rok! Mieszkańcy Pacyfiku pierwsi witają nowy rok.
Przekraczając linię zmiany daty na Pacyfiku, przeskakuje się o cały dzień do przodu albo do tyłu. Można mieć dwa razy te same urodziny!
Załoga Magellana po opłynięciu Ziemi stwierdziła, że według ich dziennika jest środa, a na lądzie był czwartek. Płynąc na zachód, „zgubili” jeden dzień!
Na wielu mapach Grenlandia wydaje się wielka jak Afryka, a jest od niej około 14 razy mniejsza! Płaska mapa zawsze zniekształca kulistą Ziemię.
Ziemia jest lekko spłaszczona na biegunach. Średnica na równiku jest o około 43 km większa niż między biegunami.
Obwód Ziemi na równiku to około 40 000 km. Metr zdefiniowano kiedyś właśnie tak, by ćwierć południka miała 10 000 km!
W obserwowalnym Wszechświecie jest około 10⁸⁰ atomów. To jedynka z 80 zerami – a i tak mniej niż googol!
Fraktal to kształt, którego część wygląda jak całość. Kalafior romanesco, paproć i linia brzegowa to fraktale z natury.
Płatek Kocha powstaje, gdy na każdym boku trójkąta doklejasz mniejszy trójkąt, i tak w nieskończoność. Ma nieskończony obwód, choć jego pole jest skończone!
Polski matematyk Wacław Sierpiński opisał fraktal: z trójkąta wycinasz środek, z pozostałych trzech znowu środki i tak bez końca. Ten wzór nazywa się dziś na całym świecie trójkątem Sierpińskiego.
Im dokładniej mierzysz wybrzeże, tym jest dłuższe – bo uwzględniasz coraz mniejsze zatoczki. To tzw. paradoks linii brzegowej.
Majowie potrafili przewidywać zaćmienia i położenia Wenus na wiele lat do przodu – dzięki bardzo dokładnym obliczeniom.
W XIX wieku William Shanks przez lata liczył ręcznie cyfry pi i podał ich 707. Niestety od 528. cyfry pomylił się – wykryto to dopiero prawie 70 lat później!
Szyfry w internecie, np. przy płatnościach, opierają się na liczbach pierwszych tak wielkich, że ich iloczynu nie da się szybko rozłożyć nawet najlepszymi komputerami.
Istnieje ponad 6,6 · 10²¹ możliwych pełnych plansz sudoku. Nikomu nie grozi, że rozwiąże wszystkie!
Udowodniono (z pomocą komputera), że sudoku z jednym rozwiązaniem musi mieć co najmniej 17 cyfr na starcie.
Każde pomieszanie kostki Rubika da się ułożyć w najwyżej 20 ruchach. Tę liczbę nazwano „liczbą Boga”. Do obliczenia jej potrzeba było mocy wielu komputerów.
Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna odbywa się od 1959 roku. Pierwsza odbyła się w Rumunii, a Polska była wśród krajów-uczestników.
W systemie gematrii litery miały wartości liczbowe. Starożytni Grecy i Hebrajczycy liczyli „wartość” imion i słów.
Zwykły mały cumulus może ważyć kilkaset ton! Krople wody są jednak bardzo drobne i rozproszone, więc chmura unosi się w powietrzu.
Salto Angel w Wenezueli ma prawie 1000 metrów wysokości. Woda spada tak długo, że część zamienia się w mgłę, zanim dotrze na dół.
Piłka nożna zszyta z 12 pięciokątów i 20 sześciokątów to bryła zwana dwudziestościanem ściętym. Ma 32 ściany, 60 wierzchołków i 90 krawędzi.
Wielokątów foremnych jest nieskończenie wiele: trójkąt, kwadrat, pięciokąt… Ale brył foremnych – tylko pięć!
Suma kątów w wierzchołkach gwiazdy pięcioramiennej to 180° – tyle co w trójkącie. Sprawdź kątomierzem!
Rok trwa około 365,2422 doby. Ta mała końcówka – prawie 1/4 doby – to powód, dla którego mamy lata przestępne.
Amerykański student George Dantzig spóźnił się na wykład i przepisał z tablicy dwa zadania, myśląc, że to praca domowa. Rozwiązał je – a były to słynne nierozwiązane problemy!