Ciekawostki › klasa 7
100 ciekawostek o liczbach, figurach i historii matematyki – dobranych do wieku ucznia 7. klasy. W aplikacji Qmaty możesz odkrywać je po jednej i zbierać kolejne.
W liczbach rzeczywistych – nie: żadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Ale matematycy wymyślili liczbę i, dla której i² = −1. Tak powstały liczby zespolone, bez których nie byłoby dziś elektroniki ani fizyki kwantowej!
Z pierwiastkiem sześciennym nie ma problemu: ∛(−8) = −2, bo (−2) · (−2) · (−2) = −8. Liczba ujemna do nieparzystej potęgi zostaje ujemna.
Kartezjusz nazwał pierwiastki z liczb ujemnych „urojonymi” – miało to brzmieć pogardliwie. Nazwa została, choć dziś inżynierowie używają ich codziennie.
Pitagorejczycy odkryli, że przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się zapisać jako ułamka. √2 = 1,41421356… ma nieskończenie wiele cyfr bez okresu – to liczba niewymierna.
Legenda mówi, że Hippazos, który ujawnił istnienie liczb niewymiernych, utonął w morzu – za karę za zdradę tajemnicy bractwa. To raczej legenda niż historia, ale dobrze pokazuje, jak bardzo to odkrycie ich zszokowało.
Znanych jest ponad 300 różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa. Jeden z nich wymyślił James Garfield, późniejszy prezydent USA!
Babilońska tabliczka Plimpton 322, starsza od Pitagorasa o ponad tysiąc lat, zawiera listę trójek liczb pasujących do twierdzenia Pitagorasa.
3, 4, 5 to najsłynniejsza trójka pitagorejska: 3² + 4² = 5². Inne to 5, 12, 13 oraz 8, 15, 17. Jest ich nieskończenie wiele!
Pierre de Fermat zapisał na marginesie książki, że równanie aⁿ + bⁿ = cⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dla n > 2 i że ma „cudowny dowód”, który nie mieści się na marginesie. Matematycy szukali dowodu ponad 350 lat!
Andrew Wiles jako 10-latek przeczytał o twierdzeniu Fermata w bibliotece i postanowił je udowodnić. Zrobił to w 1994 roku, po 7 latach pracy w tajemnicy.
Telewizor „55 cali” ma przekątną 55 cali, czyli około 140 cm. Szerokość i wysokość ekranu oblicza się właśnie z twierdzenia Pitagorasa!
Idąc ukośnie przez prostokątny park 60 m × 80 m, zamiast wzdłuż dwóch boków, pokonasz 100 m zamiast 140 m. Dlatego na trawnikach powstają wydeptane ścieżki!
Obok π słynną stałą jest e ≈ 2,718. Pojawia się przy procencie składanym, wzroście bakterii i rozpadzie promieniotwórczym. Odkrył ją Jakob Bernoulli, licząc odsetki.
Wzór Eulera e^(iπ) + 1 = 0 łączy pięć najważniejszych liczb matematyki: 0, 1, π, e oraz i. Wielu matematyków uważa go za najpiękniejszy wzór świata.
Euler napisał tyle prac, że ich wydawanie trwa już ponad 100 lat! Pracował nawet po utracie wzroku – dyktował obliczenia z pamięci.
Carl Friedrich Gauss jako 19-latek odkrył, jak skonstruować cyrklem i linijką siedemnastokąt foremny. Był z tego tak dumny, że chciał mieć siedemnastokąt na nagrobku.
Ramanujan był samoukiem z Indii. Wysłał list z setkami wzorów do angielskiego matematyka Hardy'ego, który od razu poznał się na geniuszu. Wiele jego wzorów sprawdzano jeszcze dziesiątki lat po jego śmierci.
Hardy przyjechał do szpitala taksówką nr 1729 i stwierdził, że to nudna liczba. Ramanujan odparł: „To bardzo ciekawa liczba! Najmniejsza, którą można zapisać jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby”: 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
Matematycy żartują: gdyby istniały nudne liczby, to najmniejsza z nich byłaby ciekawa – właśnie dlatego, że jest najmniejszą nudną liczbą!
Emmy Noether była jedną z najważniejszych matematyczek XX wieku. Einstein nazwał ją geniuszem. Przez lata nie mogła oficjalnie wykładać na uniwersytecie tylko dlatego, że była kobietą.
Sofia Kowalewska jako pierwsza kobieta w Europie uzyskała doktorat z matematyki (1874) i została profesorem uniwersytetu. Jako dziecko uczyła się z… notatek, którymi wytapetowano jej pokój!
Maryam Mirzakhani z Iranu jako pierwsza kobieta zdobyła w 2014 roku Medal Fieldsa – najważniejszą nagrodę dla młodych matematyków.
Alfred Nobel nie ustanowił nagrody z matematyki. Jej odpowiednikiem jest Medal Fieldsa (dla osób poniżej 40 lat) i Nagroda Abela.
Instytut Claya ogłosił 7 „problemów milenijnych” z nagrodą miliona dolarów za każdy. Rozwiązano dotąd tylko jeden – hipotezę Poincarégo.
Grigorij Perelman udowodnił hipotezę Poincarégo, ale odrzucił i Medal Fieldsa, i nagrodę miliona dolarów. Powiedział, że interesuje go matematyka, nie sława.
Czy każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych? 10 = 3 + 7, 20 = 7 + 13. Sprawdzono to dla ogromnych liczb, ale dowodu nadal nie ma – od 1742 roku!
Weź liczbę. Jeśli parzysta – podziel przez 2, jeśli nieparzysta – pomnóż przez 3 i dodaj 1. Powtarzaj. Zawsze dojdziesz do 1? Nikt tego nie udowodnił, choć sprawdzono biliony liczb!
2¹⁰ = 1024, 2²⁰ to ponad milion, 2³⁰ – ponad miliard. Każde 10 podwojeń to mniej więcej „razy tysiąc”.
Gdyby dało się złożyć kartkę grubości 0,1 mm na pół 42 razy, jej grubość przekroczyłaby odległość z Ziemi do Księżyca! To moc potęgowania.
Masa Ziemi to około 6 · 10²⁴ kg, a masa elektronu – około 9 · 10⁻³¹ kg. Bez potęg dziesiątki naukowcy pisaliby dziesiątki zer!
10⁻³ to 1/1000. Dlatego „mili” oznacza 10⁻³, „mikro” – 10⁻⁶, a „nano” – 10⁻⁹. Nanometr to miliardowa część metra.
Ludzki włos ma grubość około 80 000 nanometrów. Tranzystory w nowoczesnych procesorach mają rozmiary zaledwie kilku nanometrów!
Giga to miliard (10⁹), tera – bilion (10¹²). Dysk 1 TB pomieści około biliona bajtów danych.
Archimedes napisał dzieło „O liczeniu piasku”, w którym oszacował, ile ziaren zmieściłoby się w całym znanym mu Wszechświecie. Musiał wymyślić nowy sposób zapisywania wielkich liczb!
Babilończycy rozwiązywali równania kwadratowe już 4000 lat temu – opisywali je słowami, bez liter i znaków.
Jeszcze 500 lat temu równania pisano słowami. Zdanie „rzecz pomnożona przez trzy i dodana do pięciu daje dwadzieścia” to dzisiejsze 3x + 5 = 20.
Równanie x + 1 = x nie ma żadnego rozwiązania – nie ma liczby, która zwiększona o 1 zostaje sobą. A równanie x + x = 2x spełnia każda liczba!
Proporcje zdjęć to np. 4 : 3 albo 16 : 9. Ekrany telefonów i telewizorów też opisuje się proporcjami boków.
Dziel kolejne liczby Fibonacciego: 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 ≈ 1,615… Wyniki zbliżają się do złotej liczby ≈ 1,618!
Złota liczba φ ≈ 1,618 ma niezwykłą własność: φ² = φ + 1. Jej kwadrat to 2,618, a odwrotność 0,618 – zawsze te same cyfry po przecinku!
Mediana zarobków jest zwykle niższa niż średnia. Kilka bardzo wysokich pensji „podciąga” średnią w górę, a mediana pokazuje, ile zarabia osoba „w środku”.
Zdarza się, że lek działa lepiej w każdej grupie osobno – i u kobiet, i u mężczyzn – a w danych łącznych wygląda na gorszy. Statystyka wymaga ostrożności!
Latem rośnie sprzedaż lodów i liczba utonięć. Czy lody powodują utonięcia? Nie! Oba zjawiska mają wspólną przyczynę – upał.
W wielu prawdziwych zbiorach danych, np. liczbie mieszkańców miast, pierwszą cyfrą najczęściej jest 1 – w około 30% przypadków! Dziewiątka pojawia się na początku w mniej niż 5%. Tak wykrywa się fałszerstwa w księgowości.
Prognoza „60% szans na deszcz” oznacza, że w podobnych warunkach pogodowych padało mniej więcej w 6 przypadkach na 10.
Rachunek prawdopodobieństwa narodził się w listach Pascala i Fermata w 1654 roku. Rozważali, jak sprawiedliwie podzielić stawkę w przerwanej grze hazardowej.
Blaise Pascal jako 19-latek zbudował mechaniczną maszynę liczącą, żeby pomóc ojcu – poborcy podatkowemu – w obliczeniach.
Jedziesz do babci 60 km/h, a wracasz 40 km/h. Średnia prędkość to nie 50, ale 48 km/h! Wolniej jedziesz dłużej, więc ten odcinek „waży” więcej.
Ślimak wspina się na 10-metrowy słup: w dzień 3 m w górę, w nocy zsuwa się 2 m. Kiedy dotrze na szczyt? Nie po 10 dniach, ale już ósmego dnia!
Liczby postaci 2ⁿ − 1, np. 3, 7, 31, 127, to liczby Mersenne'a. Największe znane liczby pierwsze to właśnie liczby Mersenne'a, mające dziesiątki milionów cyfr.
Euklides i Euler pokazali, że parzyste liczby doskonałe są ściśle związane z liczbami pierwszymi Mersenne'a. Np. 28 = 4 · 7, gdzie 7 = 2³ − 1.
Nikt nie wie! Sprawdzono liczby większe niż 10¹⁵⁰⁰ i żadna nieparzysta nie okazała się doskonała. To jeden z najstarszych otwartych problemów matematyki.
Szyfr RSA, który chroni płatności w internecie, wymyślono w 1977 roku. Jego bezpieczeństwo opiera się na tym, że trudno rozłożyć wielką liczbę na czynniki pierwsze.
Naukowcy obawiają się, że przyszłe komputery kwantowe mogłyby łamać obecne szyfry. Dlatego już dziś tworzy się nowe, „postkwantowe” metody szyfrowania.
Alan Turing, brytyjski matematyk, stworzył podstawy informatyki i pomagał łamać Enigmę – kontynuując pracę rozpoczętą przez polskich kryptologów.
Turing udowodnił, że nie istnieje program, który dla każdego programu przewidzi, czy ten kiedyś się zatrzyma. Są pytania, na które komputer nigdy nie odpowie!
Gödel udowodnił, że w każdym dostatecznie bogatym systemie matematycznym istnieją prawdziwe twierdzenia, których nie da się udowodnić. Wstrząsnęło to całą matematyką.
Zdanie „To zdanie jest fałszywe” nie może być ani prawdziwe, ani fałszywe. Takie paradoksy zainspirowały wielkie odkrycia w logice.
Fryzjer goli wszystkich, którzy nie golą się sami. Czy fryzjer goli sam siebie? Każda odpowiedź prowadzi do sprzeczności! To obrazowa wersja paradoksu Russella.
Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, liczb rzeczywistych też. Ale Georg Cantor udowodnił, że rzeczywistych jest „więcej”! Są różne rodzaje nieskończoności.
Każdej liczbie naturalnej n odpowiada parzysta 2n. Choć parzyste to „połowa” liczb, w nieskończoności jest ich tyle samo co wszystkich naturalnych!
Gdy liczba boków wielokąta foremnego rośnie, zaczyna on przypominać koło. Archimedes tak właśnie przybliżał π.
Okrągła pokrywa nie wpadnie do studzienki, bo ma wszędzie tę samą szerokość. Kwadratowa mogłaby wpaść, ustawiona po przekątnej!
Nie tylko koło ma stałą szerokość. Trójkąt Reuleaux – „trójkąt” o wypukłych bokach – też! Kształt niektórych monet w Wielkiej Brytanii jest oparty na tej idei.
Wiertło w kształcie trójkąta Reuleaux potrafi wywiercić prawie kwadratowy otwór. Brzmi jak magia, a to czysta geometria!
Na kuli suma kątów trójkąta jest większa niż 180°. Trójkąt z biegunem północnym i dwoma punktami na równiku może mieć trzy kąty proste!
Przez ponad 2000 lat uważano, że geometria Euklidesa jest jedyną możliwą. W XIX wieku Łobaczewski, Bolyai i Gauss odkryli inne, równie poprawne geometrie.
Topolog nie odróżnia kubka z uchem od obwarzanka – oba mają jedną dziurę i jeden da się „ugnieść” w drugi bez rozrywania.
Problem ośmiu hetmanów: jak ustawić 8 hetmanów na szachownicy, żeby żaden nie atakował innego? Istnieją 92 rozwiązania. Badał go m.in. Gauss.
Skoczek szachowy potrafi odwiedzić każde z 64 pól dokładnie raz. To „problem skoczka” – Euler znalazł wiele takich tras.
W „Grze w życie” Johna Conwaya proste zasady na kratkowanej planszy tworzą „żyjące” wzory, które poruszają się i rozmnażają. Pokazuje, jak z prostoty rodzi się złożoność.
W Seattle w USA stoją na schodach przed muzeum sztuki cyfry π. W wielu miastach są też rzeźby i schody z ciągiem Fibonacciego.
Do tworzenia filmów animowanych używa się geometrii, macierzy i równań. Ruch włosów, wody i ubrań to wynik ogromnych obliczeń.
Paznokcie rosną około 3 mm na miesiąc. Kontynenty przesuwają się z podobną prędkością – kilka centymetrów na rok!
Ziemia zwalnia obrót przez działanie Księżyca. Dinozaury miały krótsze doby – około 23 godzin!
Astronomowie liczą odległości w parsekach. Parsek to około 3,26 roku świetlnego – nazwa pochodzi od „paralaksy sekundy”.
Masz 4 odważniki: 1, 3, 9 i 27 g. Kładąc je na obu szalkach, zważysz każdą masę od 1 do 40 g! To pomysł oparty na systemie trójkowym.
Hugo Steinhaus mawiał, że jego największym odkryciem był Stefan Banach. Steinhaus usłyszał go, jak rozmawiał o matematyce na ławce w krakowskich Plantach.
Polski matematyk Stanisław Ulam współtworzył metodę Monte Carlo – liczenie trudnych rzeczy za pomocą losowania. Metoda wzięła nazwę od kasyna w Monako.
Ulam z nudów na konferencji zapisał liczby spiralnie na kartce i zaznaczył pierwsze. Zobaczył, że układają się w zaskakujące ukośne linie! Do dziś nie wszystko w tym wzorze jest wyjaśnione.
Wśród pierwszych 100 liczb jest 25 pierwszych, wśród pierwszych 1000 – 168, a wśród miliona – 78 498. Im dalej, tym rzadziej się pojawiają.
11 jest pierwsza, 111 nie (= 3 · 37), a liczba złożona z 19 jedynek – tak, jest pierwsza! Takie liczby to repunity.
Archimedes pokazał, że pole koła równa się polu trójkąta o podstawie równej obwodowi i wysokości równej promieniowi: (2πr · r) : 2 = πr².
Heron z Aleksandrii podał wzór na pole trójkąta z samych długości boków – bez wysokości! Dla boków 13, 14, 15 pole wynosi dokładnie 84.
Woda pokrywa około 71% powierzchni Ziemi, ale słodka woda to tylko około 2,5% całej wody. Z tego większość jest uwięziona w lodowcach.
Wysokość gór mierzy się m.in. z pomocą trygonometrii – znając kąt, pod jakim widać szczyt z dwóch punktów i odległość między nimi.
Mnożąc liczbę przez 0,5, dzielisz ją przez 2. Mnożąc przez 0,25 – przez 4. Ułamki dziesiętne to po prostu inne zapisy ułamków zwykłych.
Mnich Dionizy Mały w VI wieku ustalił, od kiedy liczyć lata naszej ery. Nie znał zera, dlatego po roku 1 p.n.e. następuje od razu rok 1 n.e.
Dawniej rachmistrze sprawdzali mnożenie „próbą dziewiątkową”: porównywali sumy cyfr czynników i wyniku. Prosta metoda wyłapywała wiele błędów.
Każda książka ma numer ISBN z cyfrą kontrolną. Obliczenia z mnożeniem i resztą z dzielenia pozwalają wykryć pomyłkę w przepisaniu jednej cyfry.
Tomograf komputerowy tworzy obraz wnętrza ciała, rozwiązując ogromne układy równań. Bez matematyki lekarze nie zobaczyliby przekroju mózgu!
Liczba ludzi na Ziemi przekroczyła miliard około 1800 roku, a 8 miliardów – w 2022 roku. Takie przyspieszenie opisują funkcje wykładnicze.
1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6², a 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 = 10². Suma kolejnych sześcianów to zawsze kwadrat liczby trójkątnej!
Pomyśl liczbę, dodaj 5, pomnóż przez 2, odejmij 10, podziel przez 2. Wyjdzie Twoja liczba! Algebra pokazuje dlaczego: (2(x + 5) − 10) : 2 = x.
Pomnóż swój wiek przez 7, a wynik przez 1443. Dostaniesz swój wiek zapisany trzy razy! Bo 7 · 1443 = 10 101.
Gdyby 6 : 0 było jakąś liczbą x, to x · 0 musiałoby dać 6. Ale każda liczba razy zero daje zero. Dlatego takiej liczby nie ma.
Ile to 0⁰? „Każda liczba do potęgi 0 to 1”, ale „0 do każdej potęgi to 0”. W wielu działach matematyki przyjmuje się 0⁰ = 1, ale zawsze z wyjaśnieniem dlaczego.
Przy 23 osobach szansa na wspólne urodziny przekracza 50%, a przy 70 osobach wynosi już ponad 99,9%!
Kreska nad liczbą pod pierwiastkiem, tzw. winkulum, pokazuje, co dokładnie pierwiastkujemy. √(9 + 16) = 5, ale √9 + 16 = 19!
Między dwiema dowolnymi liczbami wymiernymi zawsze leży kolejna – na przykład ich średnia. Na osi liczbowej nie ma „najbliższego sąsiada” ułamka!